Matura z matematyki czerwiec 2015 poziom podstawowy cały arkusz krok po kroku

https://akademia-matematyki.edu.pl/ 1. (1pkt) Liczba 218−−√−32−−√ jest równa: 2. (1pkt) Wartość wyrażenia −32√5⋅2−14⋅22 jest równa: 3. (1pkt) Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45018zł. Jaka jest cena netto tego samochodu? 4. (1pkt) Wyrażenie 3a2−12ab+12b2 może być przekształcone do postaci: 5. (1pkt) Para liczb x=2 i y=1 jest rozwiązaniem układu równań {x+ay=52x−y=3, gdy: 6. (1pkt) Równanie 2x2+11x+3=0: A) nie ma rozwiązań rzeczywistychB) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywisteC) ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywisteD) ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywisteOdpowiedźWyjaśnienie 7. (1pkt) Wartość wyrażenia sin120°−cos30° jest równa: 8. (1pkt) Wyrażenie 3sin3αcosα+3sinαcos3α może być przekształcone do postaci: 9. (1pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty (0,−2) i (6,2). 10. (1pkt) Prosta k przecina oś Oy układu współrzędnych w punkcie (0,6) i jest równoległa do prostej o równaniu y=−3x. Wówczas prosta k przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie: 11. (1pkt) Liczba niewymiernych rozwiązań równania x2(x+5)(2x−3)(x2−7)=0 jest równa: 12. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Funkcja f jest rosnąca w przedziale: 13. (1pkt) Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an=2n dla n≥1. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa: 14. (1pkt) Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa: 15. (1pkt) Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 3:4:5. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę: 16. (1pkt) W trójkącie ABC, w którym |AC|=|BC|, na boku AB wybrano punkt D taki, że |BD|=|CD| oraz |∢ACD|=21° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt BCD ma miarę 17. (1pkt) Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7cm, a drugi ma 2cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość: 18. (1pkt) Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego trójkąta jest równe: 19. (1pkt) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek). Kąt α rozwarcia tego stożka jest równy: 20. (1pkt) Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie: 21. (1pkt) W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę: 22. (1pkt) Liczba 0,3 jest jednym z przybliżeń liczby 516. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy: 23. (1pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x jest równa n, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x,2x jest równa 2n. Wynika stąd, że: 24. (1pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9? 25. (1pkt) Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano: 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność 3x2−9x≤x−3. 27. (2pkt) Rozwiąż równanie x(x2−2x+3)=0. 28. (2pkt) Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AD|2+|BD|2=|BC|2+|AC|2. 29. (2pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 3x2+5y2−4xy≥0. 30. (2pkt) Funkcja kwadratowa f, dla x=−3 przyjmuje wartość największą równą 4. Do wykresu funkcji f należy punkt A=(−1,3). Zapisz wzór funkcji kwadratowej f. 31. (2pkt) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12. 32. (4pkt) Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an), dla n≥1 taki, że a5=18. Wyrazy a1, a3 oraz a13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (an). 33. (4pkt) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Ponadto wiadomo, że A=(−2,4) i B=(6,−2). Wierzchołek C należy do osi Oy. Oblicz współrzędne wierzchołka C. 34. (5pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 273–√. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.