Matura z matematyki czerwiec 2014 poziom podstawowy cały arkusz krok po kroku

https://akademia-matematyki.edu.pl/ 1.Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x? 2.Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek 12:8:3:2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora? 3.Dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie ab+a−b−1 jest równe: 4.Na prostej o równaniu y=ax+b leżą punkty K=(1,0) i L=(0,1). Wynika stąd, że: 5.Dane są liczby: a=log319, b=log33, c=log3127. Który z poniższych warunków jest prawdziwy? 6.Funkcja f jest określona wzorem f(x)=3x−4 dla każdej liczby z przedziału ⟨−2,2⟩. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział: 7.Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x)=3x2+7x+c jest liczba −73. Wówczas c jest równe: 8.Liczba 327+326326+325 jest równa: 9.Dane są wielomiany: W(x)=2x2−1, P(x)=x3+x i Q(x)=(1−x)(x+1). Stopień wielomianu W(x)⋅P(x)⋅Q(x) jest równy: 10.Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu y=(x+2)(x−4) jest równa: 11.W ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, wyraz a1=5, natomiast iloraz q=−2. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa: 12.W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a2=11 i a4=7. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa: 13.Miara kąta α spełnia warunek: 0°α90°. Wyrażenie cos2α1−sin2α+1−cos2αsin2α jest równe: 14.W trapezie KLMN, w którym KL||MN, kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: |MN|=3, |KN|=43–√, |∢KLM|=60°. Pole tego trapezu jest równe: 15.Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy: 16.W sześcianie EFGHIJKL poprowadzono z wierzchołka F dwie przekątne sąsiednich ścian, FI oraz FK (zobacz rysunek). Miara kąta IFK jest równa: 17.Punkt O jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta LKM jest równa: 18.Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy: 19.Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {1,2,3,4,...,30} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe: 20.W trójkącie EFG bok EF ma długość 21. Prosta równoległa do boku EF przecina boki EG i FG trójkąta odpowiednio w punktach H oraz I (zobacz rysunek) w taki sposób, że |HI|=7 i |GI|=3. Wtedy długość odcinka FI jest równa: 21.Na planie miasta, narysowanym w skali 1:20000, park jest prostokątem o bokach 2cm i 5cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię: 22.Proste o równaniach: y=mx−5 oraz y=(1−2m)x+7 są równoległe, gdy: 23.Punkty M=(2,0) i N=(0,−2) są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg? 24.Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 96π. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe: 25.Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa: 26.Rozwiąż nierówność (2x−3)(3−x)≥0. 27.Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność (a+b2)2≤a2+b22. 28.Kąt α jest ostry oraz cosα=3√3. Oblicz wartość wyrażenia sinαcosα+cosα1+sinα. 29.Liczby 6,2x+4,x+26 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu. 30.Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: K={−4,−1,1,5,6} i L={−3,−2,2,3,4}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni. 31.Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD|=|DE|. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny. 32. (4pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 42–√. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa. 33. (5pkt) Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy. 34. (4pkt) Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie A=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x−y−3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.