ε-N論法とは何か？【ε-N論法①】

今回は解析学の基本的な内容であるε-N論法による数列の極限の定義について解説しました 収束先の点付近にのみ無限個の点が集まっているとイメージすると考えやすいかと思います 数学の論理記号【ε-N論法②】    • 数学の論理記号【ε-N論法②】   数列の極限【ε-N論法③】    • 数列の極限【ε-N論法③】   目次 1:10 ε-N論法による数列の極限の定義 2:08 第n項がn分の1である数列の極限 5:29 ガウス記号 7:37 第n項がn分の1である数列の極限(続き) 9:19 極限の定義の特徴づけ 11:07 点列とその極限の定義 12:49 収束する点列の例 動画内で触れなかった点についてここで少し話しておきます この動画では, 数列の収束を示すとき, 正の実数εに対して自然数Nを取る際にガウス記号(実数に対してその実数以下の整数のうち最大のものを対応させる写像)を特に断りなく導入しています. 厳密には任意の実数aに対して, ある自然数nが唯一つ存在してa in [n, n+1)となることを示す必要がありますが, これは実数の連続性から導かれるアルキメデスの原理を用いて証明できます(杉浦解析Iに詳しい証明が載っています) アルキメデスの原理から直接自然数Nが存在すると言っても勿論良いですが, ガウス記号を用いて定めたほうが具体的でイメージしやすいと思い, ガウス記号を用いる方を採用しました また, 任意の正の実数εに対してある自然数Nが存在して〜 という所を, ある関数N(ε)が存在して, 任意の正の実数εに対して〜 というふうに考える事もできます(スコーレム標準形). このようにして考えると, 正の実数εに対して自然数が定まってる感があるかと思います 「ならば」などの論理記号関する言葉は次回の動画で詳しく扱います また極限公式や有界の概念, ユークリッド空間上で収束列であることとコーシー列であることは同値であることなどの点列の極限の性質については, 次次回の動画で詳しく扱います 【参考文献】 ・杉浦光夫 著 解析入門I 東京大学出版会 ・原惟行, 松永秀章 著 イプシロン・デルタ論法完全攻略 共立出版 ・集合と位相 斎藤毅著 東京大学出版会 ・エリアス・Ｍ.スタイン, ラミ・シャカルチ 著 新井仁之 , 杉本充, 高木啓行, 千原浩之 訳 フーリエ解析入門 日本評論社 ・田坂隆士 著 2次形式 岩波基礎数学選書 岩波書店 この動画の制作にはManimを使用しています 使用bgm:小さな朝, 哲人たちの昼餉, 無垢な気持ち 使用ボイス:VOICEVOX四国めたん #数学