IME 2017/2018 - 7ª QUESTÃO - OBJETIVA - DETERMINANTES E P.A.

VÍDEO COM O DETERMINANTE DO FINAL:    • Regra de Sarrus - Determinante de 3ª Ordem   Olá, amigos do meu canal no YouTube. Eu sou o professor Demóclis Rocha e neste vídeo apresentarei uma questão sobre determinantes. Antes da leitura, já deixe o seu like para mostrar que você apoia a produção de vídeos como este. Vamos lá! Muito bem, vamos partir agora para uma resolução. X1, x2, x3 e x4 são os quatro primeiros termos de uma PA. Essa PA tem razão r e x1=x. Daí, seu segundo termo x2=x+r.Seu Seu terceiro termo x3=x+2r. E seu quarto termo x4=x+3r. Assim, o determinante cujo valor desejamos determinar, é equivalente a este aqui. Em que a primeira linha, tem 4 elementos, todos iguais a x1, portanto, todos iguais a x. Na segunda linha, esse x1 nós substitumos por x, cada x2 nós substituimos por x+r. Na terceira linha, nós substituimos o x1 por, o x2 por x+r e cada x3 por por x+2r. Na quarta linha, substituimos o x1 por x, o x2 por x+r, o x3 por x+2r e o x4 por x+3r. Para calcular esse determinante, vamos começar utilizando o Teorema de Jacobi para obter ‘zeros’ na primeira coluna. Vamos proceder assim: substituiremos a segunda linha pela sua soma com a primeira linha, previamente multiplicada por -1. Dessa forma, o primeiro elemento da segunda linha passará a ser 0, pois –x+x=0. Procederemos de forma análoga, substituindo a terceira linha pela sua soma com a primeira linha, previamente multiplicada por -1 e também substituindo a quarta linha pela sua soma com a primeira linha, previamente multiplicada por -1. De acordo com o Teorema de Jacobi, o valor do determinante não se altera. Fazemos isso, porque, como eu disse, queremos obter zeros na primeira coluna. A primeira linha permace como era; x,x,x,x. Agora, na segunda linha, temos: -x+x=0 , -x+x+r=r,-x+x+r=r e –x+x+r=r, então temos 0,r , r, r. Vamos para a terceira linha: -x+x=0, -x+x+r=r, -x+x+2r=2r e –x+x+2r=2r, então ficamos com 0, r, 2r e 2r. Na quarta linha, ficamos com –x+x=0, -x+x+r=r, -x+x+2r=2r e –x+x+3r=3r, então 0, r, 2r e 3r. Agora, vamos utilizar o Teorema de Laplace, com a primeira coluna, para calcular o determinante. De acordo com o Teorema de Laplace o determinante pode ser calculado tomando uma fila qualquer (ou seja, uma linha ou uma coluna qualquer) e calculando a soma dos produtos dos seus elementos pelos respectivos cofatores. Como na primeira coluna temos três elementos nulos, para calcular o determinante basta calcular o produto de x pelo seu cofator. Dessa forma, como x é o primeiro elemento da primeira coluna, ou seja é o elemento a11, seu cofator será dado pelo produto de (-1)^(1+1) pelo determinante que obtemos, deterceira ordem, retirando a primeira linha e a primeira coluna. Como (-1)^(1+1)=(-1)^2=1, basta multiplicar x por esse determinante de terceira ordem aqui. Perceba aqui, que nesse determinante de terceira ordem, todos os elementos são produtos de uma multiplicação por r. Ora, existe uma propriedade dos determinantes que nos permite então escrever que nosso determinante é igual a xr^3, pois como o determinante é de terceira ordem, o r sai do determinante elevado a 3, então xr^3 multiplicado por esse determinante de terceira ordem aqui, em que o r foi retirado de cada linha e sobrou apenas o seu coeficiente em cada caso. Agora, esse determinante de terceira ordem pode ser calculado de forma bem simples pela Regra de Sarri (no próximo vídeo aqui do canal vou apresentar o cálculo desse determinante passo a passo, quando eu fizer o upload, deixo um link para o vídeo explicando esse determinante aqui). O valor desse determinante de ordem 3 é 1. Daí, nosso determinante original vale xr^3 vezes 1, ou sejam xr^3. Portanto, o item correto é o item E. Deixe um comentário com a sua opinião sobre o nível de dificuldade da questão, você a achou o nível fácil, médio ou difícil? Você também pode comentar sobre a explicação, ela ficou clara para você? A gente fica por aqui! Um abraço e até a próxima! Tchau!