IME 2017/2018 - 14ª QUESTÃO - OBJETIVA - TEOREMA DE PTOLOMEU

TEOREMA DE PTOLOMEU:    • TEOREMA DE PTOLOMEU   Olá, amigos do meu canal no YouTube. Eu sou o professor Demóclis Rocha e neste vídeo apresentarei uma questão envolvendo o Teorema de Ptolomeu. Se você não conhece o Teorema de Ptolomeu, deixei um link na descrição deste vídeo para um vídeo no qual apresento o Teorema de Ptolomeu e uma demonstração. Vamos partir agora para o enunciado da questão. Muito bem. Vamos representar nosso heptágono regular cujo lado mede l e cuja diagonal menor vale d. É claro que poderíamos representar a diagonal menor em vários lugares diferentes nesse heptágono. O que a questão pede? O valor da maior diagonal, vamos representar esse valor por x, em termos de l e d, em função de l e d. Porém, perceba algo muito importante agora: não adianta encontrar uma relação qualquer entre l e d que nos forneça o valor da medida x da maior diagonal. Devemos escrever a medida x da maior diagonal do heptágono, em função de l e d e, mais do que isso, devemos encontrar uma dessas expressões que aparecem nos itens. Depois de representar a maior diagonal, como você observa aqui e chamar de x a sua medida, você poderia escrever que o segmento EG mede d, pois esse segmento também é uma diagonal menor do heptágono, e usar o Teorema de Ptolomeu aqui no quadrilátero inscritível AEFG. Fazendo isso, você encontra x em termos de l e d, porém com uma expressão que não aprece nos itens, aí não serve para a gente. Isso nos leva a pensar que deveremos tentar novamente em outro quadrilátero inscritível. A propósito, qualquer quadrilátero que a gente puder formar ligando vértices do heptágono será inscritível, pois esse heptágono é regular e, portanto, ele mesmo inscritível, isto é, existe uma circunferência passando pelos vértices do heptágono. Então, veja: Observe que AD é também correspondente a maior diagonal do heptágono. Olhe, agora, para o quadrilátero ADEF. Nesse quadrilátero inscritível, sua diagonal FD mede d, pois corresponde a uma menor diagonal do heptágono. Vamos, agora usar o Teorema de Ptolomeu no quadrilátero convexo inscritível ADEF, veja: Vamos começar destacando esse quadrilátero convexo inscritível ADEF. De acordo com o Teorema de Ptolomeu, temos: a soma dos produtos das medidas dos lados opostos é igual ao produto das medidas das diagonais. Agora, isolamos x e o colocamos em evidência. Esse (d-l) que multiplica x, passamos dividindo o dl, que agora escrevemos como ld. Assim, encontramos a expressão presente no item A. Deixei o seu comentário com sua opinião sobre o nível de dificuldade da questão. Se você quiser incentivar a produção de mais conteúdo como este aqui no canal, compartilhe o vídeo (principalmente em grupos de estudo), adicione-o aos seus favoritos, toque no sininho para ativar as notificações e o que mais você puder fazer. Eu gosto de produzir esses vídeos, mas o público para o qual eles podem ser relevantes é bem menor do que o público de vídeos de matemática mais básica. Então, se você quer mais conteúdo assim no nosso canal, contribua compartilhando o vídeo, dando like etc. A gente fica por aqui, um abraço e até a próxima, tchau!