Kugelflächenfunktionen herleiten | Bahndrehimpuls im Ortsraum

In diesem Video leiten wir die Kugelflächenfunktionen her, also die Winkelfunktionen, die in der Quantenmechanik beim Bahndrehimpuls auftreten. Nachdem wir die allgemeine Drehimpulsalgebra bereits behandelt haben, gehen wir jetzt in den Ortsraum und schauen uns konkret an, wie aus dem Eigenwertproblem der Drehimpulse die Kugelflächenfunktionen entstehen. Hierzu stellen wir den Bahndrehimpulsoperator in Kugelkoordinaten dar und lösen das Eigenwertproblem im Ortsraum mit Leiteroperatoren und konstruieren daraus die allgemeinen Kugelflächenfunktionen. Am Ende verbinden wir das Ganze mit den assoziierten Legendre-Funktionen und sehen, warum diese Mathematik direkt mit den Formen der bekannten s-, p- und d-Orbitale im Wasserstoffatom zusammenhängt. 00:00 Einleitung: Bahndrehimpuls im Ortsraum 00:27 Drehimpulsoperator in Kugelkoordinaten 01:12 Drehimpulsalgebra & Kommutatorrelationen 06:15 Warum die Lösungen nur von Winkeln abhängen 07:04 Eigenwertproblem & Separationsansatz 08:50 Lösung für den Azimutanteil 11:36 Auf- und Absteigeoperatoren im Ortsraum 14:58 Lösung der Differentialgleichung via Separation 16:32 Normierung der Kugelflächenfunktion 18:43 Systematisches Absteigen zum allgemeinen Zustand 20:43 Berechnung des Normierungsfaktors für den Abstieg 25:30 Umschreiben des Absteigeoperators & Substitution 30:54 Verbindung zu den assoziierten Legendre-Polynomen 31:37 Orthogonalität & Vollständigkeit 32:15 Ausblick: Orbitale im Wasserstoffatom #quantenmechanik #physikstudium #physik #theoretischephysik