Selectividad Murcia - Junio 2021 - Matemáticas II - Probabilidad y Estadística - Distribución Normal

Resolución de la cuestión 8. En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades. La velocidad de los vehículos en una autopista con límite de velocidad de 120 Km/h sigue una distribución normal de media μ km/h y desviación típica σ = 10 km/h. Se sabe que el 69,15 % de los vehículos no sobrepasan la velocidad de 130 km/h. a) [0,75 p.] Calcule la media de la distribución. b) [0,75 p.] ¿Cuál es el porcentaje de vehículos que no sobrepasan la velocidad máxima permitida? c) [1 p.] La DGT establece una multa de 100 euros a los vehículos que viajan entre 120 y 150 km/h ¿Cuál es la probabilidad de ser sancionado con dicha multa? Solución: a) Voy a llamar X =Velocidad de un vehículo en una autopista. Sabemos que X sigue una distribución Normal, con N(μ, σ), en nuestro caso, N(μ, 10). Que el 69,15 % de los vehículos no sobrepasan la velocidad de 130 km/h significa que: P(X ≤ 130) = 0,6915 ⇒ Tipificando ⇒ P(Z ≤ (130-μ)/10) = 0,6919, ahora buscamos esta probabilidad en la tabla N(0,1). (130-μ)/10 = 0,50 ⇒ Despejando el valor de la media, obtenemos 130 - μ = 5; μ = 125 km/h. b) P(X ≤ 120) ⇒ Tipificando ⇒ P(Z ≤ (120-125/10) = P(Z ≤ -0,50) = P(Z ≥ 0,50) = 1 - P(Z ≤ 0,50) = Buscamos esta probabilidad en la tabla N(0,1) = 1 - 0,6919 = 0,3085. Entonces el porcentaje de vehículos que no sobrepasan la velocidad máxima permitida es del 30,85%. c) P( 120 ≤ X ≤ 150) ⇒ Tipificando ⇒ P(120-125/10 ≤ Z ≤ 150-125/10) = P (-0,50 ≤ Z ≤ 2,50) = P(Z ≤ 2,50) - P(Z ≤ -0,50) = P(Z ≤ 2,50) - P(Z ≥ 0,50) = P(Z ≤ 2,50) - [1 - P(Z ≤ 0,50)] = Buscamos esta probabilidad en la tabla N(0,1) = 0,9938 - 0,3085 = 0,6853. La probabilidad de ser sancionado con dicha multa es 0,6853 lo que equivale a un porcentaje del 68,53%. NOTA: Si tenemos una distribución normal N(μ, σ), llamamos tipificar la variable al proceso de convertirla en una Normal Estándar N(0,1), lo cual nos permitirá poder consultarla en las tablas. Enunciados exámenes de selectividad de la Región de Murcia: https://examenesacceso.um.es/examenes...