Probabilité pour que deux éléments commutent dans un groupe fini

On cherche à exprimer la probabilité p_G que deux éléments tirés indépendamment dans un groupe fini G, de façon équiprobable, commutent entre eux. On va voir que si G est non abélien (ie p_G différent de 1), alors p_G ne peut pas dépasser 5/8, borne atteinte, par exemple, pour le groupe diédral et le groupe quaternionique. Mais on trouvera une formule particulièrement simple pour p_G mettant en relation l'ordre de G et le nombre de classes de conjugaison. Cet exercice figure dans Carnet de Voyage en Analystan.