TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES - LA LEMNISCATA - PROBLEMA RESUELTO

Lemniscata: conjuntos de puntos que cumplen que el producto de las distancias a dos puntos dados, denominados focos, es constante. La lemniscata puede ser descrita mediante coordenadas polares según la siguiente ecuación:... La lemniscata fue descubierta, en 1694, por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos fijos (nombrados focos)4 es una constante. En contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante". La lemniscata puede ser obtenida como la transformada inversa de una hipérbola, con el círculo inversor centrado en el centro de la hipérbola (punto medio del segmento que une los dos focos) Se llama cardioide a la curva que describe un punto P de una circunferencia de radio a cuando rueda sobre otra circunferencia del mismo radio. Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a(1+cos θ), por su semejanza con el dibujo de un corazón. La cardioide es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es un caracol de Pascal, cuando 2a=h. Estudiaremos en esta sección el trazado de curvas dadas en ecuaciones polares. La gráfica ó lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares ... El sistema de coordenadas polares en el plano se basa en la elección como ... Una curva en coordenadas polares es la gráfica de una función de la forma r = r(θ) ... Para realizar un trazado elemental de una curva en polares r = r(θ) pueden ... En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados. Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordendas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo. Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar. A continuación localizamos varios puntos en el plano polar. Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordendas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es q y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(q). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(q) en coordenadas rectangulares y apartir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a q. Recordemos que q es la variable independiente y va de 0 a 2p generalmente. Por ejemplo la función r = q tiene como gráfica en rectangulares