الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية

رياضيات صف ثالث ثانوي : الترم الثالث : الاحتمال والاحصاء : الدرس الرابع : الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية : الاحتمال : تسمى النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة معينة احتمالا ُ. ووقوع الشيء المرغوب فيه يسمى نجاحا ُ وعدم وقوعه يسمى فشلا. ومجموعة النواتج الممكنة ت ّ سمى فضاء العينة. وكلما اقترب احتمال وقوع حادثة من كانت فرصة أو إمكانية وقوعها أكبر رشحت مدرسة 12ً طالبا من الصف الثاني الثانوي، و 16ً طالبا من الصف الأول الثانوي للتنافس على ً 6جوائز؛نظرا لتفوقهم الدراسي. إذا تمت مقابلة المرشحين، واختير 6منهم بشكل عشوائي، فما احتمال أن يفوز بالجوائز 3طلاب من الصف الأول الثانوي و 3طلاب من الصف الثاني الثانوي؟ في المثال 1ُ إذا كان عدد الذين ر ِّشحوا من الصف الثاني الثانوي 3ومن الصف الأول الثانوي 11وكان عدد الجوائز 4واختير4ُ طلاب من الذين رشحوا بطريقة عشوائية، فما احتمال أن يفوز طالبان من الصف الثاني وطالبان من الصف الأول؟ لدى صالح 6أصدقاء تبدأ أسماؤهم بالأحرفA , B , C , D , E , Fً ويتوقع من كل منهم اتصالا ًّ هاتفيا للاتفاق على موعد رحلة ينوون القيام بها. ما احتمال أن يتصلAً أولا ثمBً ثانيا، ويتصل كل من D, E , Fً أخيرا اشترك صلاح وعبد الله، وسليم في سباق 400 mمع خمسة رياضيين آخرين. ما احتمال أن ينهي هؤلاء الثلاثة السباق في المراكز الثلاثة الأولى؟ المتغير العشوائي والتوزيع الاحتمالي : ُيسمى المتغير الذي يأخذ مجموعة قيم لها احتمالات معلومة ً متغيراعشوائيا والمتغير العشوائي الذي له عدد محدود من القيم يسمى متغيرا عشوائيا منفصلا. التوزيع الاحتمالي هو دالة تربط بين كل قيمة من قيم المتغير العشوائي مع احتمال وقوعها، ويعبر عنه بجدول او معادلة، أو تمثيل بياني. ويجب أن يحقق التوزيع الاحتمالي الشرطين الآتيين: • احتمال كل قيمة من قيم Xمحصور بين 0و 1أي أن 0 ≤ P(X) ≤ 1 0 ≤ P(X) ≤ 1 • مجموع كل احتمالات قيم Xيساوي 1أي أن∑P( X) = 1∑ ∑P( X) = 1 والتوزيع الاحت مالي المنفصل هو توزيع احتمالي متغيره العشوائي منفصل. َّ فعند رمي قطعتي نقد متمايزتين مر ًة واحدة، فإن فضاء العينة هو } ، { T T , T L , L T , L Lُ حيث ي ّ مثل Lالوجه الذي يحمل الشعار، و Tالوجه الذي يحمل الكتابة، إذا كان Xً متغير ًّ ا عشوائيا يدل على عدد مرات ظهور الشعار، فإن X يأخذ القيم . 0, 1, 2ويمكنك حساب الاحتمال النظري لعدم الحصول على شعار، أو الحصول على شعار واحد، أو الحصول على شعارين، ّ ثم تكوين جدول يمثل التوزيع الاحتمالي، ًّ كما يمكنك تمثيله بيانيا كما يأتي: يوضح القرص ذو المؤشر الدو ار توزيعا احتماليا، حيث يمكن أن يتوقف المؤشر ٍّ على أي من القطاعات الملونة، وقد كتب على كل قطاع احتمال ظهوره )لاحظ أن مجموع الاحتمالات يساوي .(1 (aِّ مثل بالأعمدة هذا التوزيع الاحتمالي يوضح الجدول أدناه توزيع ًّ ا احتماليا، حيث ألقي مكعبان مرقمان من 1إلى 6مرة واحدة، ُ وس ّجل مجموع العددين ٍّ الظاهرين على الوجهين العلويين واحتمال كل منها مثل بالأعمدة هذا التوزيع الاحتمالي. (3Bاستعمل التمثيل بالأعمدة؛ لتحدد الناتج الأكثر إمكانية للوقوع؟ ثم أوجد احتماله. (3Cأوجد ) 11أو . P( إن الاحتمالات التي تمت دراستها هنا هي احت مالات نظرية؛ ّ لأنها مبنية على افتراضات يتوقع الحصول عليها، بينما الاحتمالا ت التجريبية يتم تقديرها من عدد من التجارب. والقي مة المتوقعة أو التوقع ) E(Xهي المتوسط الموزون للقيم في التوزيع الاحتمالي المنفصل؛ أي أن القيمة المتوقعة ) E(xهي مجموع حواصل ضرب قيم المتغير ∑ =) ،E(Xوتنتج هذه القيمة i = n i = 1 العشوائي Xفي احتمال كل منها ) ،P(Xويمكن إيجادها باستعمال القانون )Xi.P(Xi من خلال اعتماد الاحتمال النظري كوزن للمتغير العشوائي. ويخبرك بما يمكن حدوثه على المد￯ البعيد، وذلك بعد محاولات كثيرة أوجد القيمة المتوقعة عند رمي مكعب مرقم من 1إلى 6مرة واحدة. القيمة المتوقعة ) E(Xهي مجموع حواصل ضرب قيم المتغير العشوائي Xٍّ في احتمال كل منها ). P أوجد القيمة المتوقعة عند رمي مكعبين مرقمين مرة واحدة، وتسجيل مجموع العددين الظاهرين على الوجهين العلويين