Beispiel: Eingespannter Dehnstab - FINITE ELEMENTE

Die Finite-Elemente-Methode (FEM), auch „Methode der finiten Elemente“ und „Finite Element Analysen“ (FEA) genannt, ist ein allgemeines, bei unterschiedlichen physikalischen Aufgabenstellungen angewendetes numerisches Verfahren. Am bekanntesten ist die Anwendung der FEM bei der Festigkeits- und Verformungsuntersuchung von Festkörpern mit geometrisch komplexer Form, weil sich hier der Gebrauch der klassischen Methoden (z. B. die Balkentheorie) als zu aufwändig oder nicht möglich erweist. Logisch basiert die FEM auf dem numerischen Lösen eines komplexen Systems aus Differentialgleichungen. Das Berechnungsgebiet (z. B. der Festkörper) wird in endlich viele Teilgebiete (z. B. Teilkörper) einfacher Form aufgeteilt, z. B. in viele kleine Quader oder Tetraeder. Sie sind die „finiten Elemente“. Ihr physikalisches Verhalten kann aufgrund ihrer einfachen Geometrie mit bekannten Ansatzfunktionen gut berechnet werden. Das physikalische Verhalten des Gesamtkörpers wird dadurch nachgebildet, wie diese Elemente auf die Kräfte, Lasten und Randbedingungen reagieren und wie sich Lasten und Reaktionen beim Übergang von einem Element ins benachbarte fortpflanzen durch ganz bestimmte problemabhängige Stetigkeitsbedingungen, die die Ansatzfunktionen erfüllen müssen. Die Ansatzfunktionen enthalten Parameter, die in der Regel eine physikalische Bedeutung besitzen, wie z. B. die Verschiebung eines bestimmten Punkts im Bauteil zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Suche nach der Bewegungsfunktion ist auf diese Weise auf die Suche nach den Werten der Parameter der Funktionen zurückgeführt. Indem immer mehr Parameter (z. B. immer mehr, kleinere Elemente) oder immer höherwertige Ansatzfunktionen benutzt werden, kann die Genauigkeit der Näherungslösung verbessert werden. Die Entwicklung der FEM war in wesentlichen Etappen nur mittels der Entwicklung leistungsfähiger Computer möglich, da sie erhebliche Rechenleistung benötigt. Daher wurde diese Methode von vornherein computergerecht formuliert. Sie brachte einen wesentlichen Fortschritt bei der Behandlung von Berechnungsgebieten beliebiger Form.