ESTUDIO DE FUNCIONES 4: f(x) = e^(−2x)·(x²−3x+3/2) | Extremos, Inflexión y Asíntotas

Ejercicio completo de análisis resuelto paso a paso, con los tres apartados típicos de un examen de EBAU / EvAU / PAU: Sea f(x) = e^(−2x)·(x² − 3x + 3/2) a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos. b) Puntos de inflexión. c) Asíntotas horizontales. La clave del ejercicio está en un truco muy sencillo: reescribir la función como cociente, f(x) = (x² − 3x + 3/2) / e^(2x). Así se ve de un vistazo que el dominio es todo R, y además podemos derivar con la regla del cociente y sacar factor común la exponencial, que es lo que hace que todo se simplifique. En cuanto llegamos a f'(x) = −2(x−1)(x−3)/e^(2x), el estudio del signo sale prácticamente solo: como e^(2x) es siempre positivo y −2 siempre negativo, el signo lo decide únicamente el producto (x−1)(x−3). Al final hay una sorpresa: los dos extremos existen, pero son tan pequeños (f(1) ≈ −0,068 y f(3) ≈ 0,0037) que en una gráfica normal no se ven. Por eso la dibujamos en tres vistas, ampliando cada vez más hasta que aparecen el mínimo, el máximo y los dos puntos de inflexión. CONTENIDO Dominio: por qué la exponencial nunca se anula y no hay asíntotas verticales. Derivada con la regla del cociente y factor común e^(2x). Simplificación completa hasta f'(x) = −2(x−1)(x−3)/e^(2x). Puntos críticos: x = 1 y x = 3. Recta de signos: decrece, crece, decrece. Valor de los extremos: mínimo en (1, −1/2e²) y máximo en (3, 3/2e⁶). Segunda derivada: f''(x) = 4(x²−5x+5)/e^(2x). Puntos de inflexión con la fórmula cuadrática: x = (5 ± √5)/2 ≈ 1,38 y 3,62. Concavidad hacia arriba y hacia abajo en cada intervalo. Límites en el infinito: asíntota horizontal y = 0 solo por la derecha. Gráfica en tres vistas: general, ampliación del mínimo y del máximo. ⏱ ÍNDICE 00:00 Presentación 00:10 El enunciado 00:30 Dominio y asíntotas verticales 00:57 APARTADO a) Crecimiento y extremos 01:06 Derivada con la regla del cociente 01:39 Simplificamos y factorizamos f' 02:23 Puntos críticos: x = 1 y x = 3 02:48 Recta de signos 04:03 Valor de los extremos 04:30 APARTADO b) Puntos de inflexión 04:38 Segunda derivada 05:25 Resolvemos f'' = 0 y curvatura 06:06 APARTADO c) Asíntotas horizontales 06:14 Límites en el infinito 06:42 La gráfica · vista general 07:05 Ampliamos · el mínimo 07:34 Ampliamos más · el máximo Nivel: 1º y 2º de Bachillerato. Repaso de análisis para la EBAU. Si te ha servido, suscríbete y activa la campanita: hay un ejercicio nuevo de estudio de funciones cada semana. #matematicas #bachillerato #ebau #derivadas #analisis