1033｜苏阳：拓扑学趣话｜中科院数学与系统科学研究院

欢迎订阅我的频道，https://bit.ly/3tnM6wI ，佛系上新😊 这些经典又烧脑的生活难题，都可以通过拓扑学解决 从“七桥问题”到“毛球定理”，随着科学家对拓扑学的深入研究，我们发现了生活中一些看似反直觉，但却必然存在的问题，其实都可以用拓扑学进行解释。而拓扑学的魅力不仅与数学相关，同时也存在于物理世界… 演讲者：苏阳 中国科学院数学与系统科学研究院研究员 演讲时间：格致校园第51期 | 2025年 北京 为什么每个人的头发都有“旋”？这门数学可能藏着物理世界最深刻的真相 数学是人类心灵活动的产物，做数学研究，就是为了探索人类思维的极限。 大家好，我是来自中国科学院数学与系统科学研究院的苏阳。今天我给大家带来的演讲有关一个数学的分支——拓扑学。 说到数学，可能大家的第一感觉是，这是一门有点难的学科，里面有很多非常难算的题，特别是平面几何里边的题。如果有道题是求图形的面积，那可能大家做着做着就会变成求做题人的心理阴影面积了。 但我还好。我在中学阶段数学学得还可以，而且我觉得数学是一门很有意思的学科，里面有很多很神奇的东西吸引着我。所以到了大学之后，我进入数学系继续深造。 在大学前两年，我学了一些很基本的课程，包括数学分析、线性代数、微分几何、概率论等等。我学得也都还可以，但是始终没有一门功课让我感到大有启发，使我眼前一亮，直到我大学第3年时上到了拓扑学的课程。 左边是我们当时给我们上课的老师，北京大学数学系的尤承业教授。他是一位非常和蔼且博学的老师，在课上对我们谆谆教导，引领我们进入拓扑学的大门。他的课非常好，让我感到很有启发。 我觉得拓扑学和其他的数学的分支有点差别：在于拓扑学往往不需要你做特别复杂的计算。最起码对于我当时的认知程度来说，它不需要做特别复杂的计算，而更需要一些非常巧妙的观察。然后把这些数学概念组织在一起进行推理，就可以得到一些非常深刻且非常有意思的结果。 从7座桥开始的拓扑学 我们先来举一个例子，一个历史上非常经典的例子，大家可能听说过，就是哥尼斯堡七桥问题。 这个问题是这样的。这是大概17或18世纪时的哥尼斯堡，一个在波罗的海海边的小城。这个小城中有几条河流穿过，人们为了交通方便，就在河上修了7座桥。我们用绿色把这7座桥标记出来了。 当时这7座桥中有2座一直保留到了现在，这是其中1座的照片。 大家在日常生活中都会散步，那在哥尼斯堡散步的人里就有人提出来，说我们试试，能不能一次不重复地把这7座桥都走一遍。然后很多人都去尝试了，但是一直没有人成功。所以这个问题渐渐地就变成了一个难题，慢慢流传开了。 那到底怎样才能把这七座桥都走遍呢？这个难题最后引起了大数学家欧拉的关注。 欧拉用了一个非常数学的方式处理了这个问题。他把这个问题抽象了出来，所以我们就看到了这样一个简图。绿色的就是陆地，黄色的就是桥。 那我们可以再进一步做抽象，把陆地用点来表示，那2块陆地之间如果有1座桥连接的话，我就在两个点之间连一条线，用来表示桥。这样就把原来的地图问题完全抽象成了一个由点和线构成的图形问题了。现在这个问题就变成了，我能不能从1个点出发，然后一次不重复地把图上7条边都走下来呢？ 接下来，我们就可以做一些非常简单的观察。这里有一个非常关键的点在于，在不能重复经过1条边的情况下，如果1个点它不是起点也不是终点，那你就要经过1条边走到这个点来，然后再沿着另外1条边走出去。这样一进一出，就走了2条边了。所以，如果1个点它既不是起点也不是终点，那么它发出的边一定是偶数条。只有起点和终点才可能是奇数条。 这样我们再看这张图，图里所有的4个点发出的边都是奇数条，它们不可能同时作为起点或终点。所以根据刚才的分析你就知道，不可能一次不重复地把这7条边都走一遍。 这就是一个把实际生活问题抽象成几何问题再去分析解决的例子。但这个几何问题和我们中学学习的几何问题不一样。 不一样在哪呢？在这个图里，每条边有多长、每两个边间的夹角是多大，其实并不重要。真正重要的是每个点间到底连了几条边，它们是怎么连的。也就是说，我们关注的是这个图形间各个部分相对的位置关系。 可以说，这种研究几何图形之间各部分相对位置关系的几何学，在欧拉那个时代开始就慢慢发展起来了。 又过了100多年之后，这种研究已经非常广泛了，大家觉得有必要给这门学科起个名字。于是到了1847年，德国数学家利斯廷就用两个希腊语词根拼凑出来了单词，叫作“topology”。 这两个希腊语词根“τόπος”表示的是位置，“λóγος”表示的是关于什么的谈话。“topology”说的就是关于位置的谈话，也就是研究几何体间各个位置相对关系的一门数学。 就像前面说的，我们关注的是几何体或者空间的各个位置的相对关系。我允许这个东西做形变，只要这种形变既不撕开也不黏合，那么它的各个位置的相对关系就是不变的。我们管这种形变叫同胚。 这是一个马克杯，它可以同胚或者说形变成轮胎，我们叫环面。 这是一个玩具小牛，你可以想象把它吹得胀起来，得到的就是球。所以我们可以说，这个小牛玩具和球面是同胚的。 球面和环面是不同胚的，这个大家在直觉上就可以感觉出来。但是它们到底怎么样不同胚？它们性质又会有什么样的差异呢？这个就是我们拓扑学关心的问题。 那下边，我们就举几个例子，来看一下球面和环面到底有什么差别。 为什么人人有发旋？ 第一个例子有一个非常形象的名字，叫毛球定理。这个定理的数学表述是这样的：球面上的任何连续向量场必然存在一个零点。 这个概念非常好理解。什么叫向量？就是有一个点，然后画个箭头，这就叫一个向量。那我现在把这个向量画在球面上，意思就是说，我这个向量要贴着球面画，或者说跟球面相切着画就可以了。 我在每个点都画一个向量，就可以得到一个叫向量场的东西。我们希望这个向量场的改变不要太剧烈，每个点跟它附近的点的向量箭头的方向和大小都不能突变，这样的向量场就叫连续向量场。我们日常生活中很多东西的改变都是连续的，这个也很好理解。 有了这样一个要求之后，你就可以尝试在球面上去画这么一个向量场，在每个点画个箭头，最后你会发现，你画来画去总是到了某个点就没法画了。你要想使这个点和周围的向量保持向量场的连续改变，就只能画0，只能让这个向量值是0。 这个现象并不是因为我们太笨了画不出来，而是因为背后有球面拓扑的阻碍，它阻碍了你画出这么一个处处非零的连续向量场。所以这个定理就是说，球面上的任何连续向量场必然存在一个零点。 那为什么叫毛球定理呢？有一个非常形象的解释。你可以想象一个球上每个点有一根头发，要把这些头发梳理到球面上，就得到了一个类似于向量的东西。 我希望把头发连续地梳在这个球的表面上，但最后会发现，不管怎么梳，总是在某些点上没有办法把头发梳下去，使得它和它附近的头发连续改变。 这件事情在日常生活中一点也不稀奇，就像我们每个人头发都会有旋，可能有的人有一个旋，有人有两个旋，但无论如何，这个旋上的头发怎么梳的话都会和附近的头发有冲突。 这就是毛球定理，在我们日常生活中大家都有所体验。而它背后的原理 👇🏽歡迎嘗試我頻道裡的其他影片👇🏽 通信：   • 通信   人工智能：   • AI·人工智能   航天：   • 航天   宇宙：   • 宇宙   教育：   • 教育   少年中国：   • 少年中国   植物：   • 中国科学院植物研究所   生物：   • 生物   心理：   • 心理   医学：   • 医学   生态：   • 医学   环境：   • 环境   药学：   • 药学   数学：   • 数学   物理：   • 物理   化学：   • 化学   艺术：   • 艺术   摄影：   • 摄影   传媒：   • 传媒   考古：   • 考古   恐龙：   • 恐龙   地震：   • 中国科学院地质与地球物理研究所   诺贝尔奖：   • 诺贝尔奖   工程：   • 工程   音乐：   • 音乐   建筑：   • 建筑   能源：   • 能源   #中科院 #格致论道 #科学 #科普 #知识 #知识科普 #格致論道 #科學 #知識 #知識科普 #教育 #self