フェルマーの最終定理 part 6 〜モジュラー形式編〜

フェルマーの最終定理を本当に解いたのは、 「モジュラー形式」だった――。 本動画では、現代数論の中心概念である モジュラー形式について、 ・モジュラー形式とは何か ・複素解析との関係 ・フーリエ展開と q 展開 ・保型性とは何を意味するのか ・楕円曲線との対応 ・L関数と数論的情報 ・志村・谷山・ヴェイユ予想 ・ワイルズによるモジュラー性定理 ・なぜそれがフェルマーの最終定理を導くのか を体系的に解説します。 モジュラー形式は、一見すると単なる複素関数に見えます。 しかしそのフーリエ係数には、 素数 合同式 楕円曲線 ガロア表現 といった数論的情報が驚くほど深く刻み込まれています。 特に重要なのは、 「楕円曲線はモジュラー形式に対応する」 という志村・谷山・ヴェイユ予想です。 ワイルズはこの予想の重要部分を証明することで、 フライ曲線の非モジュラー性との矛盾を導き、 フェルマーの最終定理をついに完全解決へ導きました。 つまりフェルマーの最終定理とは、 整数問題 ↓ 楕円曲線 ↓ モジュラー形式 という巨大な数学的橋渡しの先にあったのです。 本動画では、 複素解析・代数幾何・整数論が融合する 「モジュラー性」の世界をできるだけ直感的に紹介します。 現代数学最大級の統一理論の一端をぜひ体感してください。 y^2+y=x^3-x^2 www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/11/a/3 f(z)=η(z)^2η(11z)^2=q∏ n=1~∞ (1−q^n)^2(1−q^11n)^2 www.lmfdb.org/ModularForm/GL2/Q/holomorphic/11/2/a/a/