Séminaire Philosophie et Mathématiques 2023 (ENS Ulm) : Olivier Fouquet

Séminaire Philosophie et Mathématiques (Pierre Cartier, Yves André, Mirna Dzamonja, Joël Merker, Jean Petitot, Victor Rabiet, Jean-Jacques Szczeciniarz) (En collaboration avec l'Association des Amis de Jean Cavaillès) Ecole Normale Supérieure, 45 rue d'Ulm, Paris Lundi 23 janvier 2023 : Olivier Fouquet (LMB) Titre. "C'est difficile d'y croire mais c'est encore plus difficile de ne pas y croire" : Les conjectures architecturale en géométrie arithmétique, et les problèmes qu'elles posent d'un point de vue structuraliste et pragmatique. Résumé. Comme noté par B. Mazur dans l'essai Conjecture (Synthèse, 1997), le statut mathématique du terme Conjecture a changé radicalement aux alentours du premier quart du siècle dernier : regardé avec méfiance sinon dédain avant 1900, il fait son entrée sur la scène dans les années 1920 pour devenir omniprésent voir dominant dans certains branches des mathématiques, après les années 1940. Ce renversement de la position épistémologique du terme - d'une périphérie marginale réprouvée au centre focal de l'attention - semble inséparable du tournant structuraliste en mathématiques (ou du moins dans certaines branches de celles-ci) et (sans présumé de rapport causal cette fois-ci) de l'ascension relative d'une épistémologie pragmatique et cognitive des mathématiques. Pourtant, le rôle architectural des grandes conjectures en géométrie arithmétique me semble poser un problème épistémologique spécial et ardu à de telles conceptions des mathématiques et à leurs ontologies. L'exposé discutera de ce problème et de l'éclairage qu'il apporte sur la recherche mathématique et s'appuiera plus spécifiquement sur les conjectures de Weil (et leurs preuves), sur la preuve par Coates-Wiles de certains cas de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, sur la formulation des conjectures de Kato sur les valeurs spéciales des fonctions L et sur la conjecture de Fontaine-Mazur.