(Topologie) Exercice: GL_n(C) est connexe par arcs, GL_n(R) ne l'est pas

Lien vers mon site: https://www.fmaalouf.com Cette vidéo fait partie du cours "Espaces vectoriels normés, espaces métriques":    • Distances | Espaces Métriques: Définition ...   Cette vidéo fait également partie d'une série sur les colles, exercices type et grand classiques des concours des grandes écoles. Lien pour la playlist:    • Déterminants (10/14): déterminant de Hürwitz   Cette vidéo aborde un problème très classique: l'étude de la connexité par arcs du groupe linéaire GL_n(K), ou K est le corps des réels ou des complexes. On rappelle que GL_n(K) est l’ensemble des matrices carrées de taille n et qui à coefficients dans K et inversibles. Un sous ensemble A d’un espace métrique E est dit connexe par arcs si pour tout choix de points x et y dans A, il existe un “chemin” de A, qui commence en x et finit en y. Plus précisément, s’il existe une application h continue de l’intervalle [0,1] et à valeurs dans A, telle que h(0)=x et h(1)=y. Une propriété importante: l’image d’un connexe par arcs par une application continue est encore connexe par arcs. Ce résultat permet de montrer que GL_n(R) n’est pas connexe par arcs: l’image de GL_n(R) par l’application "déterminant" est R*, qui n’est pas connexe par arcs. Quant à GL_n(C), on montre que si on prend deux matrices inversibles A et B, on peut toujours trouver une application continue h: de [0,1] dans GL_n(C) telle que h(0)=A et h(1)=B. C’est exactement ce qu’il faut pour montrer que GL_n(C) est connexe par arcs.