(Polynômes) Relations coefficients - racines

Lien vers mon site: https://fmaalouf.com Cette vidéo fait partie d'une série sur les colles, exercices type et grands classiques des concours des grandes écoles. Lien pour la playlist:    • Déterminants (10/14): déterminant de Hürwitz   Dans cette vidéo nous travaillons les fonctions symétriques des racines d'un polynôme. Dans le premier exercice, nous résolvons le système suivant : \begin{equation} \left{ \begin{aligned} & a + b + c = 1, \ & a^2 + b^2 + c^2 = 7, \ & \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1. \end{aligned} \right. \end{equation} En trouvant les coefficients du polynôme unitaire dont $a$, $b$ et $c$ sont les racines, nous parvenons à résoudre ce système délicat. Dans le deuxième exercice, nous explorons les relations entre les coefficients et les racines complexes du polynôme $P(X)=X^3-3X+1$. Nous démontrons que les racines $a$, $b$ et $c$ sont distinctes deux à deux, puis nous calculons différentes expressions symétriques incluant $a^2+b^2+c^2$, $a^3+b^3+c^3$, $a^6+b^6+c^6$ et $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.