Conjuntos (IME, 2013, Questão 15)

Considere os conjuntos A, B, C e D, não vazios, contidos no mesmo conjunto universo U. A simbologia \overline{F} representa o complemento de um conjunto F em relação ao conjunto U. Assinale a opção correta \begin{enumerate} \item[(A)] Se $A \cap D \subset C$ e $B \cap D \subset C$ então $A \cap B \subset C$ \item[(B)] $\left[(A \cap \overline{B} \cap C ) \cup (\overline{A} \cap B \cap C )\right] \cap (A \cap B \cap C) = (A \cap B)$ \item[(C)] $\overline{(A\cap \overline{B} \cap C) \cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C})} = (A \cap B \cap C)$ \item[(D)] $(A\cap \overline{B} \cap C) \cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C}) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C) $ \item[(E)] Se $A \subset C $ e $B \subset C$ então $\overline{\overline{A} \cup \overline{B}} \subset C$ \end{enumerate} \textit{Resolução} Vamos analisar primeiro os itens que parecem ser mais simples: o item (A) e o item (E). \item[(A)] {\bf Errado}. É fácil elaborar um contra-exemplo para este item. Tomando, por exemplo $D=C = \{a,b,c\}$, $A = \{ b,d\}$ e $B = \{c,d\}$ temos claramente $A \cap D \subset C$ e $B \cap D \subset C$, porém $A \cap B = \{d\} \not\subset C$. \item[(E)] {\bf Correto}. Uma das leis de Morgan nos permite escrever \linebreak $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$, logo, $\overline{\overline{A} \cup \overline{B}} = \overline{\overline{A \cap B}} = A \cap B$. Já que $A \subset C $ e $B \subset C$ então é claro que $\overline{\overline{A} \cup \overline{B}} = A \cap B \subset C$. \item[(B)] {\bf Errado}. Basta perceber que, para que o lado esquerdo da igualdade seja o conjunto vazio basta que $C$ tenha um elemento que não pertença nem a $A$ nem a $B$. Para que o lado direito da igualdade não seja vazio basta que $A$ e $B$ tenham um elemento em comum. Assim, $A = \{2,3\}$, $B = \{2,4\}$ e $C = \{1\}$ servem como um contra-exemplo para esse item. \item[(D)] {\bf Errado}. O diagrama abaixo representa, em vermelho, o conjunto $X = (A\cap \overline{B} \cap C) \cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C})$: Uma vez que claramente $(A \cap B \cap C) \subset (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C) $, para produzir um contra-exemplo para esse item, podemos construir os conjuntos $A$, $B$ e $C$ de maneira que exista um elemento $x \in A \cap B \cap C$, pois, dessa maneira, é claro que $x \notin X$. Podemos tomar, por exemplo, $A=\{1,2\}$, $B = \{1,3\}$ e $C=\{1,4\}$ para mostrar que este item está errado. \item[(C)] {\bf Errado.} Nesse item, o lado esquerdo da igualdade é o complementar do conjunto $X$ do item acima. Assim, perceba que para gerar um contra-exemplo podemos considerar a existência de um elemento $x \in A$ de maneira que $x \notin (A \cap B\cap C)$. Podemos tomar, por exemplo, $A=\{1,2\}$ e $B=C = \{2\}$.