Bogenlänge mit Integralen - Ein möglicher Beweis

Die Formel zur Berechnung der Bogenlänge bei Funktionsgraphen ist unter Mathematikern wohlbekannt. Wie man sie beweisen kann, zeigt dieses Video. Zum Abschnitt ab 23:46: Mir sind Beweise dafür bekannt, dass im Falle der Existenz eines Supremums für beliebige Zerlegungen auch der Grenzwert für Zerlegungen mit gleich großen Teilintervallen existiert und dass dann beide Werte gleich sind. Im Falle der Rektifizierbarkeit ist die Bogenlänge daher immer der Grenzwert der Längen der Polygonzüge bei gleich großen Teilintervallen. Nicht klären konnte ich bisher die Frage, ob im Falle der Nichtexistenz des Supremums der besagte Grenzwert trotzdem existieren kann. Wenn ja, würde dies erklären, warum der Begriff der Rektifizierbarkeit und der Bogenlänge für stetige Funktionen im Allgemeinen über das Supremum definiert wird statt über den Grenzwert. Videos zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung - Anwendungen:    • Der Mittelwertsatz der Differentialrechnun...   Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung - Was er aussagt:    • Der Mittelwertsatz der Differentialrechnun...   Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung - Ein Beweis:    • Der Mittelwertsatz der Differentialrechnun...   Video zum Riemann-Integral: Das Riemann-Integral - Einführung für den Leistungskurs:    • Das Riemann-Integral - Einführung für den ...