Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt 🍽

En algèbre linéaire, dans un espace préhilbertien (c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels ou celui des complexes, muni d'un produit scalaire), le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt est un algorithme permettant de fabriquer une famille orthonormée à partir d'une famille libre finie ou infinie dénombrable. Ce dernier cas permet de démontrer l'existence d'une base hilbertienne si l'espace est séparable. On utilise le procédé de Schmidt par exemple lorsqu'on souhaite calculer des projetés orthogonaux sur des sous-espaces. C'est aussi un outil commode dans la démonstration de la classique inégalité d'Hadamard. L'étape générale de l'algorithme consiste à soustraire au vecteur vn+1 son projeté orthogonal sur le sous-espace engendré par v0,...,vn. On s'appuie sur la famille orthonormale déjà construite pour le calcul de ce projeté. Cette méthode a été publiée par Jørgen Pedersen Gram en 1883 et reformulée par Erhard Schmidt en 1907, mais on la trouve déjà dans des travaux de 1816 de Laplace. (source Bibmaths et Wikipédia). Ces notions sont vues en sup/spé en prépa et en l2 de maths à la fac. Mais intuitivement, l'algorithme de Gram Schimdt est compréhensible dès le lycée, après avoir vu le produit scalaire. Il faut quand même être à l'aise avec les vecteurs, les notions associées et avoir une bonne visualisation dans l'espace 3D. #geometry #algorithm #algebre