dr Katja Sagerschnig: Twierdzenie Gödla

Przez wieki matematycy sądzili, że całą matematykę da się zaksjomatyzować, tak jak Euklides zaksjomatyzował geometrię. Ze skończonej (zwykle niewielkiej) liczby aksjomatów określających pewną teorię da się drogą logicznego rozumowania wywieść wszystkie prawdziwe twierdzenia tej teorii. Odkrycie w roku 1931 przez Kurta Gödla, iż tego się zrobić nie da, było prawdziwym szokiem. Kurt Gödel udowodnił, że istnieją takie prawdziwe zdania o liczbach naturalnych, których nie da się wywieść logicznie z aksjomatów arytmetyki (aksjomatów Peano). Arytmetyka jest zasadniczo niepełna, bowiem gdyby takie zdanie dodać do zbioru aksjomatów, to ciągle istniałyby inne prawdziwe zdania o liczbach niedające się udowodnić na podstawie tego rozszerzonego zbioru aksjomatów. Dowodliwość jest zawsze słabsza od prawdziwości – zbiór zdań dowodzonych przez system formalny nie może być tożsamy ze zbiorem zdań prawdziwych tej teorii. Może on być albo mniejszy od zbioru zdań prawdziwych (wtedy system jest niesprzeczny, ale niezupełny), albo większy od niego (wtedy system jest zupełny, ale sprzeczny). Wykład odbył się 14 listopada 2018 roku w ramach cyklu "Drogi do nieskończoności" w Centrum Nauki Kopernik. Pozostałe wykłady:    • Drogi do nieskończoności   Zobacz stronę wydarzenia: http://www.kopernik.org.pl/projekty-s...