Phương trình bậc hai một ẩn

Các em có bao giờ tự hỏi: tại sao quả bóng ném lên lại rơi xuống theo đường cong? Hành trình đó ẩn chứa một phương trình rất thú vị. Hay như bài toán này: một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng hai mét. Diện tích mảnh vườn là mười lăm mét vuông. Hỏi chiều rộng bằng bao nhiêu? Gọi chiều rộng là x mét. Chiều dài sẽ là x cộng hai mét. Diện tích bằng chiều rộng nhân chiều dài, tức là x nhân x cộng hai bằng mười lăm. Khai triển ra, ta được x bình cộng hai x trừ mười lăm bằng không. Đây chính là một phương trình bậc hai một ẩn! In English, this is called a quadratic equation in one variable. Dạng tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn là a nhân x bình cộng b nhân x cộng c bằng không, với a khác không. Trong đó a, b, c là các hệ số thực. Trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ học cách nhận biết, giải và vận dụng phương trình bậc hai vào thực tế. Hãy cùng thầy khám phá nhé! Chào các em! Trước khi vào bài mới, thầy muốn ôn lại một chút kiến thức cũ nhé. Ở lớp tám, các em đã học phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng tổng quát của nó là a nhân x cộng b bằng không, với a khác không. Phương trình bậc nhất luôn có đúng một nghiệm. Nghiệm đó là x bằng âm b chia cho a. Ví dụ, phương trình hai nhân x trừ sáu bằng không. Ta tìm được x bằng ba. Rất đơn giản đúng không các em? Bây giờ thầy đặt câu hỏi: nếu trong phương trình xuất hiện thêm x bình phương thì sao? Ví dụ x bình phương trừ năm x cộng sáu bằng không. Lúc này, phương trình bậc nhất không còn đủ sức giải quyết nữa. Chúng ta cần một công cụ mạnh hơn — đó chính là phương trình bậc hai một ẩn. Vậy là từ bậc nhất, chúng ta bước lên bậc hai. Hành trình khám phá bắt đầu từ đây, các em nhé! Các em ơi, trong cuộc sống có rất nhiều bài toán thú vị. Ví dụ như tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật khi biết chu vi. Những bài toán đó thường dẫn ta đến một loại phương trình đặc biệt. Loại phương trình đó có tên gọi là phương trình bậc hai một ẩn. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu xem nó có dạng như thế nào nhé. Một phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát như sau. Ta có a nhân x bình phương, cộng b nhân x, cộng c bằng không. Trong đó a, b, c là các hệ số đã biết và a khác không. Tại sao lại bắt buộc a phải khác không? Vì nếu a bằng không thì số hạng x bình phương biến mất. Khi đó phương trình chỉ còn bậc một, không còn là bậc hai nữa. Bây giờ thầy lấy một ví dụ cụ thể để các em hình dung rõ hơn nhé. Xét phương trình hai nhân x bình phương, trừ năm nhân x, cộng ba bằng không. Ở đây a bằng hai, b bằng âm năm, c bằng ba. Tiếp theo thầy lấy thêm một ví dụ nữa. Phương trình x bình phương trừ bốn bằng không. Lúc này a bằng một, b bằng không, c bằng âm bốn. Hệ số b có thể bằng không, không sao cả. Các em thấy không? Phương trình bậc hai luôn có số hạng x bình phương đứng đầu. Đó là dấu hiệu nhận biết quan trọng nhất. Hệ số của x bình phương chính là a và a phải khác không. Trong tiếng Anh, phương trình bậc hai một ẩn được gọi là gì? In English, we call it a quadratic equation. Các em hãy ghi nhớ thuật ngữ này nhé, vì nó rất thường gặp. Bây giờ các em thử nhìn vào đồ thị của phương trình bậc hai nhé. Đồ thị của hàm y bằng a nhân x bình phương là một đường cong hình chữ U. Đường cong đẹp đó được gọi là parabol. In English, we call it a parabola. Vậy là các em đã nắm được định nghĩa rồi đó. Phương trình bậc hai một ẩn có dạng a nhân x bình phương cộng b nhân x cộng c bằng không, với a khác không. Ở phần tiếp theo chúng ta sẽ học cách giải loại phương trình thú vị này nhé. Ở phần trước, các em đã biết phương trình bậc hai có dạng tổng quát. Bây giờ thầy sẽ hướng dẫn cách tìm nghiệm của nó. Để giải phương trình bậc hai, người ta dùng một đại lượng rất quan trọng. Đó là biệt thức, ký hiệu là Delta. Biệt thức Delta bằng b bình phương trừ bốn nhân a nhân c. Chỉ vậy thôi, rất đơn giản phải không các em? In English, we call it the discriminant. Đây là từ khoá quan trọng các em nên ghi nhớ. Bây giờ thầy sẽ tính Delta cho một ví dụ cụ thể. Xét phương trình hai x bình phương trừ năm x cộng ba bằng không. Ta xác định: a bằng hai, b bằng âm năm, c bằng ba. Sau đó thay vào công thức Delta. Delta bằng âm năm bình phương trừ bốn nhân hai nhân ba, bằng hai mươi lăm trừ hai mươi bốn, bằng một. Delta dương! Khi Delta dương, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Công thức nghiệm lúc này như sau. Nghiệm thứ nhất bằng âm b cộng căn Delta, tất cả chia cho hai a. Nghiệm thứ hai bằng âm b trừ căn Delta, chia cho hai a. Áp dụng vào ví dụ, b bằng âm năm, căn Delta bằng căn một bằng một, hai a bằng bốn. Ta tính được nghiệm thứ nhất và nghiệm thứ hai. Vậy phương trình có hai nghiệm: x một bằng ba phần hai và x hai bằng một. Các em thấy công thức nghiệm hoạt động rất hiệu quả! Nhớ nhé: Delta dương thì hai nghiệm phân biệt, Delta bằng không thì nghiệm kép, Delta âm thì vô nghiệm. Chốt lại: biệt thức Delta là chìa khoá để giải mọi phương trình bậc hai. Hãy nhớ công