Le Lemme de Grönwall — L'Inégalité Reine des Équations Différentielles (Cours Complet)

📐 Une inégalité d'apparence modeste, publiée en 1919, et pourtant l'arme la plus utilisée de toute la théorie des équations différentielles. Le lemme de Grönwall transforme un contrôle implicite — une fonction bornée par sa propre intégrale — en une borne explicite, exponentielle. Cours complet : énoncé, démonstration, les trois applications majeures, la version discrète et un exercice de concours. ⏱️ PLAN DU COURS 00:00 Introduction — Au programme 00:39 Un peu d'histoire : T. H. Grönwall (1919) et Bellman (1943) 01:13 Le problème : un cercle vicieux (u contrôlée par elle-même) 01:49 Énoncé : la forme intégrale 02:25 La démonstration complète (facteur intégrant) 03:06 La forme différentielle : u' ≤ bu 03:41 Exemple numérique : une borne calculable 04:15 Application 1 — Unicité de Cauchy-Lipschitz (a = 0) 04:55 Application 2 — Dépendance continue (et le germe du chaos) 05:37 Application 3 — Existence globale (avec le lemme des bouts) 06:13 Généralisation : coefficient variable b(t) 06:54 Piège : la linéarité est essentielle (u' ≤ u² explose !) 07:27 La version discrète : suites et récurrences 08:06 Convergence de la méthode d'Euler à l'ordre 1 08:45 Grönwall partout : EDO, EDP, numérique, contrôle 09:19 Exercice corrigé type concours 10:08 Ce qu'il faut retenir 10:51 Conclusion 🎯 CE QUE TU VAS APPRENDRE ✅ Énoncer Grönwall sous forme intégrale et différentielle ✅ Refaire la démonstration : le facteur intégrant e⁻ᵇᵗ ✅ Démontrer l'unicité de Cauchy-Lipschitz en trois lignes ✅ Contrôler l'écart entre deux trajectoires (dépendance continue) ✅ Prouver l'existence globale sous croissance linéaire, en duo avec le lemme des bouts ✅ Éviter le piège : pas de Grönwall pour les contrôles surlinéaires ✅ Utiliser la version discrète pour la convergence de la méthode d'Euler ✅ Rédiger l'exercice classique de concours 📌 L'ÉNONCÉ À RETENIR Si u(t) ≤ a + b∫u(s)ds, alors u(t) ≤ a·exp(b(t−t₀)). Le cercle vicieux est brisé : un contrôle implicite devient une borne explicite. 🎓 Niveau : prépa (MP/PSI), licence 3, agrégation — et révisions de concours. 🔔 Abonne-toi pour la suite : le théorème des fonctions implicites arrive dans la prochaine vidéo ! #Maths #Gronwall #EquationsDifferentielles #CauchyLipschitz #Analyse #MethodeEuler #Prépa #Agrégation #Concours #Démonstration #CoursDeMaths